miércoles, 13 de octubre de 2010

Las cónicas

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano que no pasa por el vértice se pueden generar las siguientes curvas:
Elipse (e): el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz y corta a todas las generatrices del cono. Es una curva cerrada sin puntos en el infinito.
Parábola (p): el plano de corte es paralelo a una generatriz y tiene un punto en el infinito.
Hipérbola (h): el plano de corte es paralelo a 2 generatrices y tiene dos puntos en el infinito.
Circunferencia: el plano es ortogonal al eje de revolución y es un caso particular de la elipse en el que los dos ejes son iguales.
























Cónicas por homología:

http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/construccion-de-conicas-por-homologia.html


Generación proyectiva de las cónicas.

Como en toda homología, todas las series de puntos se corresponden con otras series y los haces de rectas se corresponden con otros haces de rectas, una cónica se convierte en otra cónica por homología.
En la figura vemos varias propiedades de las homologías sobre las cónicas, los puntos homólogos S S’están alineados con el centro de proyección O, la rectas homólogas a a’ se cortan en el eje, los puntos del eje son dobles u homólogos de sí mismos, que quiere decir que si una figura corta al deje de homología en los puntos, su homóloga pasa por esos dos puntos, resultando estos invariables.
Las tangentes a una cónica lo son también a su homóloga. En dos crónicas homólogos el polo y polar de una tiene en sus homólogos otro polo y polar de la otra.
Cualquier cónica es posible transformarla en una circunferencia, de esta forma obtenemos puntos homólogos de la circunferencia obteniendo así nuevos puntos de la cónica.


Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.
Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.


 En el dibujo observamos varias circunferencias concéntricas que cortan al eje horizontal en varios puntos (A, B, C,...) por los que hacemos rectas verticales.
 Considerando el punto rojo como foco de una parábola y tomando una de las tangentes, por ejemplo la que pasa por el punto I, tomamos el punto medio entre ambos puntos y ese es el vértice de la parábola (E). 
La intersección de las circunferencias concéntricas con las rectas verticales nos determinan la parábola roja.
 Consideremos ahora la tangente de color verde que pasa por el punto H. El vértice quedará en el punto medio de AH. La intersección de cada una de las circunferencias concéntricas con las verticales nos determinan los cuatro puntos negros por donde pasa la parábola verde.
 Por cuatro puntos siempre pasan tres cónicas, si ahora tomamos un punto interno hacia la izquierda, como por ejemplo el punto A, tenemos que por los cinco puntos pasa una elipse, mientras que si tomamos un punto externo hacia la derecha, por ejemplo el punto J tenemos que por los cuatro puntos negros más J pasa una hipérbola, ello es debido a que en el caso del elipse es una curva cerrada mientras que en el caso de la hipérbola los cuatro puntos pueden pertenecer a una rama de la hipérbola pero el punto J ya determina otra rama.



Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.
Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.


Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.
Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.



Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.


En los casos anteriores los elementos, fueran puntos o fueran rectas tangentes, eran siempre incidentes (cuando existía una tangente, había un punto de la cónica que estaba sobre ella) y por lo tanto existía una única cónica que pasaba por los puntos y era tangente a las rectas. En el caso de que los elementos no sean incidentes, la solución ya no es sólo una única cónica sino que pueden ser más, por ejemplo, si tenemos tres puntos y dos tangentes a la cónica, como es el enunciado de este dibujo, el ejercicio tiene cuatro soluciones.
En el ejercicio sin embargo aparece resuelta una única solución, aquella en la que la circunferencia amarilla es tangente a las dos rectas dadas y pasa por dos puntos de la cónica.
Si alineamos el punto E el centro de homología O corta a la circunferencia en el punto E’. En este punto lo alineamos con otro punto T’ de la circunferencia y corta al eje en un punto que unido con E determina T en la intersección de la recta OT’. T es un punto de la cónica y si unimos su homólogo T’ con el punto de tangencia G’ tenemos un punto de intersección en el eje que unido al punto T tenemos en la prolongación el punto G en la intersección con la tangente b.




Si desde C hacemos las tangentes a una cónica,  sus puntos de contacto definen la polar g. 
Desde C tenemos las secantes a la cónica (p. ej., recta verde) que la cortan en H G.
CHEG forman una cuaterna armónica, puntos por los que pasan las fugas de un cuadrilátero en perspectiva cónica y sus diagonales.
Demostración a partir de los teoremas de Menelao y Ceva:

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En la figura de la izquierda observamos una elipse con dos líneas azules que definen la unión de los dos focos BC con un punto  cualquiera de la elipse E.
La bisectriz de esas dos líneas siempre nos da la normal y la tangente, en color rosa y marrón respectivamente. Si tomamos el foco C  y hacemos el simétrico respecto a la tangente tenemos que al mover el punto E,  el simétrico de C siempre se mueve sobre la circunferencia focal gris,  cuyo radio es el eje mayor AD y el centro uno de los focos B.

Si ahora cogemos la figura del centro -Hipérbola- y tomamos otras dos líneas GO - OJ y aplicamos su tangente - qué es la bisectriz  de ambas- también en color marrón, observamos que al hacer el simétrico de uno de los focos respecto al eje que es la tangente, siempre se mueve sobre una circunferencia focal (en azul) cuyo radio es la distancia entre los vértices de la hipérbola HI,  y con centro en uno de los focos G.

A la derecha tenemos una parábola en color verde con su tangente en color marrón que también es la bisectriz de dos líneas que podemos trazar por  kN y por k’N, al hacer el simétrico K’ del foco K respecto al eje que es la tangente podemos comprobar que siempre sale sobre la recta directriz de color rosa.


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En la figura observamos dos conjuntos de circunferencias concéntricas, la intersección de ambas configuraciones generan elipses e hipérbolas en color magenta y verde respectivamente



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En el dibujo podemos ver las tres cónicas y una representación gráfica de las mismas, se muestra cómo representar gráficamente el concepto de cada una de las cónicas. 
En el caso de la elipse observamos que las distancia de un punto a los Focos, que aparece representada con dos segmentos de color naranja y azul, los giramos y los convertimos en dos segmentos de color morado y rojo, respectivamente.
El eje mayor de la elipse KI observamos que coinciden en tamaño con los segmentos de color morado y rojo que es en realidad la traslación del segmento mayor de color marrón hasta hacerlo coincidir sobre el punto J, esto quiere decir que cojamos el punto que cojamos de la elipse al hacer todo este proceso siempre trasladando el eje mayor coincide con los dos segmentos horizontales que pasan por el punto el elegido, de lo que se desprende que siempre saldrá esa forma de romboide o de rectángulo en el caso en el que el punto esté situado sobre el eje menor.
 En el caso central de la hipérbola observamos como la distancia de un punto E a un Foco A  menos la distancia de E al otro foco D nos determina la distancia entre vértices BC o AF.
Por ello lo que hacemos es pasar la distancia verde mediante un giro y ponerla sobre la recta AE (El segmento verde se gira y se convierte en el rojo),de esta manera  le quitamos a ese segmento el segmento rojo  y nos queda solo el azul que necesariamente debe ser igual al naranja,
A continuación mediante un giro de centro en el vértice B lo colocamos de manera que sea paralelo al segmento azul con lo cual observamos que ahí sale un paralelogramo y eso demuestra que efectivamente el segmento naranja es igual al azul, el concepto mismo de la hipérbola.
En el caso de la derecha de la parábola,  todas las circunferencias que tienen por centros puntos de la parábola son tangentes a la directriz PL y pasan por el foco N ,es el concepto mismo de parábola.



La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro llamado foco F y de una recta d llamada directriz. Análogamente es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a d e incidentes en el foco.
En toda parábola el vértice V equidista del foco y de la directriz: dV=VF, siendo la directriz una recta perpendicular al eje de la curva, que es su eje de simetría.
Para trazarla se hacen distintas perpendiculares al eje (por ejemplo la recta a), se toma la distancia de la perpendicular a la directriz da, y con ese radio se hace una circunferencia de centro en F y radio da. Los 2 puntos de intersección de da y a son puntos simétricos de la curva.

























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Podemos observar un ejemplo con números: por un punto cualquiera, el 5 por ejemplo, hacemos una perpendicular al eje. Con la distancia 5H (del punto 5 a la directriz D) hacemos centro en F y donde corte a la perpendicular que pasa por el punto 5 son los 2 puntos de la parábola.






















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2 rectas que se cortan se enumeran en orden creciente y decreciente en el mismo número de puntos. Se unen a continuación los puntos: 1 con 1, 2 con 2, etc., La curva resultante es la envolvente de la parábola tangente a las 2 rectas originales.






















Si cogemos los puntos medios de los segmentos que nos quedan en la intersección del conjunto de rectas definiremos una curva parabólica tangente a las dos rectas que la inscriben -Dibujo de la izquierda en color rojo.

Por contra si cogemos los puntos de intersección de el conjunto de líneas que se cortan obtendremos otra parábola que es secante a las dos rectas que inscriben al conjunto de todas las rectas- dibujo de la derecha en color verde.


  Parábola secante a xy


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Se dividen 2 rectas horizontal y vertical en igual número de puntos como en la figura.
Sobre los puntos de la vertical se trazan horizontales y sobre los puntos de la horizontal se hacen rectas hacia el vértice de la parábola. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de la parábola.





















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2 rectas que se cortan se dividen en igual número de puntos en el orden de la figura, por ejemplo del 0 al 9. El punto 0 de una recta se une con los de la otra recta, y el punto 9 de la otra con todos los puntos de la otra recta. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de una parábola, según refieren algunos libros.


















Sin embargo, geogebra nos dice otra cosa, que la curva es una elipse:



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En rectas y circunferencias equidistantes, la intersección de cada recta con cada circunferencia son los puntos de curvas parabólicas.





































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Nos dan C, un punto de la curva, el vértice o pto. 7 y el eje y de simetría de la parábola o principal, se pide calcular otros puntos.
 Hacemos desde C una perpendicular al eje y hacemos su simétrico D respecto al eje.
ED lo dividimos en un nº de partes iguales, por ejemplo 7, dividimos también entre el mismo nº el segmento E7
Unimos C con cada una de las divisiones de E7 y prolongamos las líneas hasta que corten a a las paralelas al eje E7 por cada una de las divisiones de  ED.
Esas intersecciones son puntos de la parábola.

Si queremos obtener el foco y directriz, cogemos uno de los rayos verticales verdes, por ejemplo h, y por el pto. K de intersección con la parábola hacemos la tangente p.
Construimos su perpendicular r por k y luego la recta simétrica  de h respecto al eje de simetría  r, obteniendo z.
Donde corte z al eje principal n tenemos el foco A.
La directriz c es la perpendicular al eje principal n por B, que es el simétrico del foco A respecto al vértice V.


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Si en dos ejes a b cuya intersección es P dividimos en a segmentos iguales (1, 2, 3, 4,...)a partir de P y por un punto aleatorio M de a (a la derecha de a, como en el dibujo) hacemos circunferencias que pasen por 1, 2, 3, 4, y por M obtenemos circunferencias que cortan a la recta b en D, V, etc. Por la intersección de estas circunferencias y b hacemos horizontales que cortan a las verticales por 1 2 3 4 en puntos de la parábola.






















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Tenemos una parábola con su eje focal i,  que si no nos lo dan podemos calcularlo igual que calculamos los ejes mayor y menor de la elipse, teniendo solo la curva.
 Trazamos dos cuerdas paralelas FE y GH en la parábola que la cortan según los puntos  anteriores.
 Tomamos los puntos medios I J de esas cuerdas y trazamos una recta azul i que corta a la parábola en el punto K. Por K hacemos una paralela a las cuerdas anteriores y obtenemos una recta tangente J.
Hacemos una circunferencia violeta de radio arbitrario y centro K,  ésta circunferencia corta a la recta azul en el punto M.  Corta además a la misma recta J en el punto L.  
Tomando centro en L y con radio L M trazamos una circunferencia que corta a la circunferencia  violeta en el punto O.

 Al unir el punto O con el punto K tenemos una recta que corta al eje focal en el punto C,  éste es el foco de la parábola y  por su simétrico A  respecto al vértice D de la parábola  (intersección del eje focal 
con la parábola)  trazamos una ortogonal al eje focal obteniendo así ya la recta directriz f.







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Todas las parábolas tienen la misma forma, en el dibujo observamos parábolas iguales pero a distintas distancias. Si cogemos una de ellas y la escalamos siempre sale igual de forma a la anterior ya que todas son proporcionales. Son por tanto en esto las parábolas curvas iguales a las circunferencias, ya que también son siempre iguales de forma aunque puedan tener distintos tamaños.












http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-lambert.html




El hecho de que la parábola sea igual siempre en forma, aunque varíe su tamaño está relacionado con la circunferencia, curva en la que también se da el caso de que todas las circunferencias son iguales, también de forma aunque puedan ser de distinto tamaño.
La razón la podemos ver en el dibujo, la parábola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta directriz y que pasan por el foco de la parábola. Como según el concepto de la parábola la distancia del foco a un punto es igual que la distancia de ese punto a la recta directriz, tenemos que estos dos radios iguales determinan la circunferencia cuyo centro es un punto de la parábola. Si ampliamos la parábola o la reducimos, el dibujo de las circunferencias y la curva parabólica es siempre igual, ya que los dos radios considerados de cada circunferencia también son invariables, por tanto la curva tiene siempre la misma forma.


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Dados el foco de la parábola y dos puntos de la misma AB, determinar el eje, el vértice y la directriz de la parábola.
Hacemos el arco capaz de 90° por AF, esto es, hacemos una circunferencia cuyo diámetro sea el foco F y un punto A.
Hacemos otra circunferencia que pase por el foco F y por el otro punto B.
Construimos una recta tangente -en color rojo- a las dos circunferencias y por el foco hacemos la perpendicular a esa tangente obteniendo de esta forma en su intersección el vértice V de la parábola. La línea que pasa por el vértice y el foco es el eje de la misma, para obtener la directriz hacemos centro en el vértice y tomando como radio la distancia del vértice V al foco F, hacemos un arco que corte al eje a esa distancia VF. En ese punto de intersección hacemos una perpendicular al eje -en verde- y esa es la directriz de la parábola. La resolución del ejercicio se basa en que toda tangente a la parábola intercepta a la recta roja que pasa por el vértice, en un punto que, unido al foco, se tiene que es perpendicular a la tangente.

















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Intersección de recta y parábola





Para calcular los puntos de intersección JK de una parábola con una recta dada (en color negro) dibujamos el punto simétrico del foco respecto a la recta dada, tenemos que la recta verde que pasa por el foco y su simétrico corta a la directriz de la parábola en el centro radical CR desde el que hacemos las tangentes azules a una circunferencia cualquiera cuyo centro E esté sobre la recta dada y que pase por el foco y su simétrico. Si tomamos la distancia desde el centro radical a los puntos de tangencia CR-F obtenemos el radio de la nueva circunferencia cuyo centro es el centro radical, esta circunferencia de color marrón corta a la directriz en dos puntos HI por los que hacemos rectas perpendiculares a la directriz obteniendo en la intersección con la parábola los puntos de corte JK de la recta secante con la misma.

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El caso de la parábola en el Teorema de Dandelin

Observamos en el dibujo una esfera tangente a la sección parabólica del cono en el foco de la parábola. El eje de la parábola e pasa por el punto de tangencia de la esfera con el plano de sección y corta al plano donde el cono y la esfera son tangentes, esto es, el plano que pasa por la recta M.
Los dos planos -el que secciona el cono y el de contacto entre la esfera y el cono- pasan por las dos rectas e m, respectivamente, y se cortan en una recta d y que es la directriz de la parábola.
El teorema de Dandelin nos determina con facilidad el foco de una sección del cono. La solución a los ejercicios para la determinación de los focos de las cónicas consiste en hacer una esfera tangente a la sección y al cono y el punto de contacto de la esfera con la sección cónica es un foco de la cónica.















En este dibujo observamos en un perfil el cono separado en dos trozos por un corte, con la esfera tangente al plano de sección en el punto a.
Observamos también que el plano m -azul- que es el plano que pasa por donde el cono y la esfera son tangentes, corta al plano de sección del cono en la recta d, que es la directriz que la parábola.




















Demostración de que la parábola es una sección cónica:




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Una parábola apoyada sobre el eje de abscisas su foco dibuja una curva catenaria.

Una catenaria -curva azul- es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena, o hilo, sin rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme.
 Es una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la tractriz es la catenaria.
 Christiaan Huygens, a los 17 años, quien demostró que la curva no era realmente una parábola, sino sólo una curva parecida, aunque no encontró la ecuación de la catenaria.
La ecuación fue obtenida por Gottfried LeibnizChristiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690 y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria


La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros 2 fijos (llamados focos F1, F2) es constante e igual al eje mayor V1, V2.
En el dibujo se puede observar que la distancia de F2 a un punto (en azul) menos la distancia de F1 a ese punto (en verde) es igual a V1-V2.
Para construirla se cogen puntos (desde F1 hasta el infinito y del infinito hasta F2), por ejemplo desde A hasta V1 y se hace con ella un arco con centro en F1. A continuación se coge la distancia de A a V2 y se hace un arco con centro en F2. La intersección de los 2 arcos es un punto de la hipérbola.













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Se puede dibujar una rama hipérbólica por sección de un cono en sistema diédrico: el plano vertical a que corta al cono de vértice V determina la rama de la hipérbola. Para calcularla pasamos un plano vertical m por el eje del cono, éste corta a la circunferencia base del cono en P1, punto que proyectamos al alzado obteniendo P2 sobre la línea de tierra. El plano m corta en T al plano a, por este punto hacemos una vertical hasta que corte a P2-V en G. Los demás puntos se determinan de igual forma. Para determinar el vértice E se hace una circunferencia de centro O tangente al plano a, ésta corta a la línea de tierra en Z. Por Z se hace una vertical hasta que corta a la generatriz del contorno del cono en H y por este punto una horizontal que corta a V-O en E.





















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La intersección de un conjunto de circunferencias concéntricas equidistantes son curvas hiperbólicas.



















Pensemos en un lago en el que tiramos dos piedras, son los focos. Dividimos la distancia entre ellos en 3 partes para marcar un momento en el que las circunferencias pasan por esos puntos. Las circunferencias concéntricas se cortan en varios puntos que determinan una curva hipérbola.
 Como las curvas crecen y se amplían cada vez más no pueden ser curvas cerradas como la circunferencia o la elipse, el carácter de curvas que se abren cada vez más, que van hacia el infinito, las convierte en en una curva asintótica que no puede ser otra que una cónica hipérbola, ya que la economía de la naturaleza genera las curvas más suaves entre los puntos y esta es una característica propia de las cónicas.
 El centro de la hipérbola quedará entre los dos focos, hacemos centro en este punto con el radio hasta uno de los focos y obtenemos en las verticales por los vértices B C las intersecciones por donde pasan las dos asíntotas, además de por el centro B1.
Si unimos los puntos de intersección de las circunferencias concéntricas obtenemos las dos ramas hiperbólicas que pasan por ejemplo por los puntos B C del eje horizontal.




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Dados 2 vértices cualesquiera de una hipérbola AB, construimos un rectángulo con vértice en A y dividimos sus lados en partes iguales como se dispone en la figura. Desde B trazamos una radiación que pase por los puntos 1, 2, 3 en disposición vertical. Por los puntos del otro lado del cuadrado hacemos otra radiación hasta A.
La intersección de las dos radiaciones son los puntos de la curva.























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Los puntos que se deben coger para construir la hipérbola deben estar, al igual que la elipse, entre los dos focos. La diferencia estriba en que en la elipse los puntos están dentro del segmento comprendido entre ambos puntos, mientras que en la hipérbola los puntos escogidos van desde un foco hacia el infinito y desde el infinito hacia el otro foco.
Manteniendo que toda recta tiene un punto en el infinito, se podría deducir que la hipérbola, al igual que la parábola tiene un único punto en el infinito, ya que pertenece a la misma curva y está localizado en la misma recta, no obstante en homología tenemos que cuando la recta límite corta la circunferencia en dos puntos, su figura homóloga ha de tener esos dos puntos en el infinito.






















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En la figura podemos ver en planta y alzado a la izquierda (Sistema diédrico) y en color negro un hipérboloide de revolución, se engendra por una rama hiperbólica que gira en torno a un eje. (También se puede engendrar mediante líneas rectas, por lo que es una superficie reglada alabeada). El contorno de la superficie en el alzado es una hipérbola con sus dos ramas correspondientes.
Para construir el dibujo basta con hacer un cilindro determinado por sus generatrices, si giramos una de las dos circunferencias la de la base o la de la cara superior permaneciendo quieta la otra, tenemos que las generatrices del cilindro aparecen oblicuas, ya no son rectas ortogonales a la base y por tanto la superficie tiene una concavidad en la zona central, tal y como se ve en el alzado. Para que se entienda mejor la figura se han puesto distintas proyecciones de la misma en color azul a la derecha y en el centro la superficie de color rojo gira en torno a un eje de revolución de color verde.



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Para calcular las asíntotas o rectas tangentes a la hipérbola en el infinito hacemos una circunferencia c de centro O y radio O-F1. Por la intersección de las verticales por V1-V2 y la circunferencia c tenemos 4 puntos que unidos a O definen las asíntotas de la hipérbola.























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Un ejemplo numérico lo tenemos con la hipérbola del dibujo: De V1 a un punto mide 28,69, con centro en F2 se hace un arco con esa medida.
De V2 a ese punto es 13,6, con centro en F1 se hace otro arco con esa medida que en la intersección con el arco anterior tenemos un punto de la hipérbola. La diferencia entre las 2 magnitudes es la distancia entre vértices: 15,09, según el concepto métrico de la hipérbola.




















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Intersección de recta e hipérbola




Para calcular la intersección de una recta HL (en color negro) con una hipérbola se construye la circunferencia focal que es aquella que tiene como centro uno de los focos E de la hipérbola y por radio la distancia entre los dos vértices BD de la misma.
Se calcula el simétrico F’ del otro foco F respecto a la recta dada, dibujamos una circunferencia que pase por el foco y su simétrico y que al mismo tiempo corte a la circunferencia focal en dos puntos MN. La intersección de la línea definida por MN y de la línea definida por el foco y su simétrico F-F’ determina el centro radical  CR.
Si construimos las tangentes a la circunferencia focal desde el centro radical  CR obtenemos dos puntos de tangencia OP que unidos con el otro foco C determinan en la prolongación e intersección con la recta dada los puntos de corte T1 T2 de esta recta con la hipérbola.









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Tangentes a la hipérbola.
Para construir las rectas tangentes desde un punto E a la hipérbola, construimos una circunferencia (en color amarillo) cuyo centro sea el punto dado y el radio sea la distancia desde ese punto hasta uno de los focos E-F1.
 A continuación construimos la circunferencia focal (en color violeta), que es aquella que tiene centro en el otro  foco F2  y como radio la distancia entre los vértices de la hipérbola V1-V2.
Podemos observar en el dibujo que las dos circunferencias se cortan en dos puntos A’-A’1, si alineamos estos puntos con el segundo foco F2, obtenemos al prolongar estas dos rectas dos puntos de intersección con la hipérbola T1 y T2, estos dos puntos son los de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola desde el punto exterior dado E. En consecuencia unimos estos puntos de tangencia con el punto dado  y construimos las dos rectas rojas que son en realidad las dos tangentes a la curva.
Como podemos observar en el dibujo le hemos denominado a cada una de ellas bisectriz, 1 y 2 respectivamente. Ello es debido a que si tomamos uno de los puntos de tangencia, por ejemplo T1, y lo unimos con los dos focos mediante dos rectas, podemos observar que ambas tienen por bisectriz la recta tangente, en este primer caso la bisectriz1.
 Además se cumple que respecto a esta bisectriz o tangente desde un punto, que el primer foco F1 tiene como punto simétrico respecto a la primera bisectriz el punto de intersección entre las dos circunferencias A’, igualmente el otro punto de intersección de las dos circunferencias A’1  es el simétrico de este primer foco F1 respecto a la segunda bisectriz.

La recta perpendicular p a la curva que pasa por los puntos de tangencia –en este caso por T1- es en realidad la perpendicular a la tangente en ese punto, como podemos observar en el dibujo.


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En el dibujo podemos observar un punto M desde el que se han trazado las dos tangentes -en color verde- a la hipérbola, para construir las tangentes por M hemos hecho una circunferencia de color marrón que pasa por uno de los focos H de la hipérbola. A continuación hemos dibujado la circunferencia focal CF con centro en el otro foco K y hemos alineado este foco con los puntos de intersección H'  H'1 de las dos circunferencias obteniendo en la prolongación de estas rectas los puntos de intersección con la hipérbola, esto dos puntos N O  son los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde el punto M.
Como podemos observar en el dibujo, los puntos de intersección de las dos circunferencias tienen por simétricos respecto a las rectas tangentes el otro foco H. Como novedad respecto al ejercicio anterior podemos observar que la circunferencia principal, que es aquella que tiene como centro L el de la hipérbola y radio desde el centro de la hipérbola hasta uno de los vértices J de la hipérbola, intercepta en las tangentes o ejes de simetría los puntos medios de los simétricos anteriores: H y H'1, son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro Q.
Asimismo H y H', son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro P.


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Tenemos una rama hiperbólica JK  de color verde a la derecha y queremos calcular el centro E 
de esa hipérbola y la dirección de los ejes xy,  trazamos dos cuerdas secantes - en color negro-
a la derecha y tomamos sus puntos medios MN por los que trazamos una recta naranja, 
 si volvemos a hacer la misma operación con otras dos cuerdas -No se repite en el dibujo- 
obtenemos otra recta que determina en su intersección con la anterior el centro E  de la hipérbola.  
Por ese centro hacemos una circunferencia de radio aleatorio que corta las ramas hiperbólicas 
según 4 puntos, los lados del rectángulo que definen estos 4 puntos determina la dirección de
ambos ejes.

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Tenemos una rama  hiperbólica de color verde que pasa por los puntos KJ.  
Se trata de calcular los ejes principales,  los focos,  los vértices y las asíntotas.
 Los ejes principales los calculamos por el mismo método que la elipse,  a continuación tomamos un punto H del eje focal y hacemos una recta perpendicular I a EC,  hasta que corta a la rama hiperbólica en L.  
Hacemos una circunferencia de centro E con el  radio EH,  hacemos otra circunferencia con el radio EB.  Esta última circunferencia corta al eje vertical y  en M,  por donde hacemos una paralela MN al eje focal,  está línea paralela corta a la circunferencia anterior de radio EH  en el punto N,  
por el que trazamos una recta vertical que corta a la línea horizontal por  L  en O.

 La línea OE es la asíntota g de la curva, y su simétrica g’ respecto al eje y es la otra asíntota.

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Para dibujar una hipérbola- en color verde en el dibujo- podemos dibujar una elipse- de color negro- en cuyo foco B hacemos descansar circunferencias c de distinto tamaño,  al hacer tangentes GD  FC desde los dos vértices CD del eje  mayor de la elipse a esa circunferencia c obtenemos puntos H que corresponden a una hipérbola.

Esta figura corresponde a la proyección de una elipse girada 90 grados en el espacio sobre la que se apoya una esfera c de diferentes tamaños en el foco B de la elipse y un cono tangente a esa esfera que tiene en el contorno los vértices CD del eje mayor de la elipse y que al variar su tamaño produce que los vértices de ese cono definan una hipérbola en el espacio.



Si dibujamos esferas que se apoyan en el vértice C  de la elipse y desde los focos AB  de la elipse hacemos dos tangentes - en color rojo- a esa esfera  verde,  tenemos que la intersección de las dos tangentes nos produce el punto K,  todos los puntos intersección de  esas tangentes corresponden a una elipse.


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Demostración gráfica de definición métrica de la hipérbola