miércoles, 13 de octubre de 2010

Las cónicas

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano que no pasa por el vértice se pueden generar las siguientes curvas:
Elipse (e): el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz y corta a todas las generatrices del cono. Es una curva cerrada sin puntos en el infinito.
Parábola (p): el plano de corte es paralelo a una generatriz y tiene un punto en el infinito.
Hipérbola (h): el plano de corte es paralelo a 2 generatrices y tiene dos puntos en el infinito.
Circunferencia: el plano es ortogonal al eje de revolución y es un caso particular de la elipse en el que los dos ejes son iguales.
























Cónicas por homología:

http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/construccion-de-conicas-por-homologia.html


Generación proyectiva de las cónicas.

Como en toda homología, todas las series de puntos se corresponden con otras series y los haces de rectas se corresponden con otros haces de rectas, una cónica se convierte en otra cónica por homología.
En la figura vemos varias propiedades de las homologías sobre las cónicas, los puntos homólogos S S’están alineados con el centro de proyección O, la rectas homólogas a a’ se cortan en el eje, los puntos del eje son dobles u homólogos de sí mismos, que quiere decir que si una figura corta al deje de homología en los puntos, su homóloga pasa por esos dos puntos, resultando estos invariables.
Las tangentes a una cónica lo son también a su homóloga. En dos crónicas homólogos el polo y polar de una tiene en sus homólogos otro polo y polar de la otra.
Cualquier cónica es posible transformarla en una circunferencia, de esta forma obtenemos puntos homólogos de la circunferencia obteniendo así nuevos puntos de la cónica.


Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.
Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.


Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.
Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.


Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.
Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.



Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.


En los casos anteriores los elementos, fueran puntos o fueran rectas tangentes, eran siempre incidentes (cuando existía una tangente, había un punto de la cónica que estaba sobre ella) y por lo tanto existía una única cónica que pasaba por los puntos y era tangente a las rectas. En el caso de que los elementos no sean incidentes, la solución ya no es sólo una única cónica sino que pueden ser más, por ejemplo, si tenemos tres puntos y dos tangentes a la cónica, como es el enunciado de este dibujo, el ejercicio tiene cuatro soluciones.
En el ejercicio sin embargo aparece resuelta una única solución, aquella en la que la circunferencia amarilla es tangente a las dos rectas dadas y pasa por dos puntos de la cónica.
Si alineamos el punto E el centro de homología O corta a la circunferencia en el punto E’. En este punto lo alineamos con otro punto T’ de la circunferencia y corta al eje en un punto que unido con E determina T en la intersección de la recta OT’. T es un punto de la cónica y si unimos su homólogo T’ con el punto de tangencia G’ tenemos un punto de intersección en el eje que unido al punto T tenemos en la prolongación el punto G en la intersección con la tangente b.

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro llamado foco F y de una recta d llamada directriz. Análogamente es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a d e incidentes en el foco.
En toda parábola el vértice V equidista del foco y de la directriz: dV=VF, siendo la directriz una recta perpendicular al eje de la curva, que es su eje de simetría.
Para trazarla se hacen distintas perpendiculares al eje (por ejemplo la recta a), se toma la distancia de la perpendicular a la directriz da, y con ese radio se hace una circunferencia de centro en F y radio da. Los 2 puntos de intersección de da y a son puntos simétricos de la curva.

























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Podemos observar un ejemplo con números: por un punto cualquiera, el 5 por ejemplo, hacemos una perpendicular al eje. Con la distancia 5H (del punto 5 a la directriz D) hacemos centro en F y donde corte a la perpendicular que pasa por el punto 5 son los 2 puntos de la parábola.






















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2 rectas que se cortan se enumeran en orden creciente y decreciente en el mismo número de puntos. Se unen a continuación los puntos: 1 con 1, 2 con 2, etc., La curva resultante es la envolvente de la parábola tangente a las 2 rectas originales.






















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Se dividen 2 rectas horizontal y vertical en igual número de puntos como en la figura.
Sobre los puntos de la vertical se trazan horizontales y sobre los puntos de la horizontal se hacen rectas hacia el vértice de la parábola. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de la parábola.





















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2 rectas que se cortan se dividen en igual número de puntos en el orden de la figura, por ejemplo del 0 al 9. El punto 0 de una recta se une con los de la otra recta, y el punto 9 de la otra con todos los puntos de la otra recta. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de una parábola.



















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En rectas y circunferencias equidistantes, la intersección de cada recta con cada circunferencia son los puntos de curvas parabólicas.





































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Si en dos ejes a b cuya intersección es P dividimos en a segmentos iguales (1, 2, 3, 4,...)a partir de P y por un punto aleatorio M de a (a la derecha de a, como en el dibujo) hacemos circunferencias que pasen por 1, 2, 3, 4, y por M obtenemos circunferencias que cortan a la recta b en D, V, etc. Por la intersección de estas circunferencias y b hacemos horizontales que cortan a las verticales por 1 2 3 4 en puntos de la parábola.






















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Todas las parábolas tienen la misma forma, en el dibujo observamos parábolas iguales pero a distintas distancias. Si cogemos una de ellas y la escalamos siempre sale igual de forma a la anterior ya que todas son proporcionales. Son por tanto en esto las parábolas curvas iguales a las circunferencias, ya que también son siempre iguales de forma aunque puedan tener distintos tamaños.












http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-lambert.html




El hecho de que la parábola sea igual siempre en forma, aunque varíe su tamaño está relacionado con la circunferencia, curva en la que también se da el caso de que todas las circunferencias son iguales, también de forma aunque puedan ser de distinto tamaño.
La razón la podemos ver en el dibujo, la parábola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta directriz y que pasan por el foco de la parábola. Como según el concepto de la parábola la distancia del foco a un punto es igual que la distancia de ese punto a la recta directriz, tenemos que estos dos radios iguales determinan la circunferencia cuyo centro es un punto de la parábola. Si ampliamos la parábola o la reducimos, el dibujo de las circunferencias y la curva parabólica es siempre igual, ya que los dos radios considerados de cada circunferencia también son invariables, por tanto la curva tiene siempre la misma forma.


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Dados el foco de la parábola y dos puntos de la misma AB, determinar el eje, el vértice y la directriz de la parábola.
Hacemos el arco capaz de 90° por AF, esto es, hacemos una circunferencia cuyo diámetro sea el foco F y un punto A.
Hacemos otra circunferencia que pase por el foco F y por el otro punto B.
Construimos una recta tangente -en color rojo- a las dos circunferencias y por el foco hacemos la perpendicular a esa tangente obteniendo de esta forma en su intersección el vértice V de la parábola. La línea que pasa por el vértice y el foco es el eje de la misma, para obtener la directriz hacemos centro en el vértice y tomando como radio la distancia del vértice V al foco F, hacemos un arco que corte al eje a esa distancia VF. En ese punto de intersección hacemos una perpendicular al eje -en verde- y esa es la directriz de la parábola. La resolución del ejercicio se basa en que toda tangente a la parábola intercepta a la recta roja que pasa por el vértice, en un punto que, unido al foco, se tiene que es perpendicular a la tangente.

















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Intersección de recta y parábola





Para calcular los puntos de intersección JK de una parábola con una recta dada (en color negro) dibujamos el punto simétrico del foco respecto a la recta dada, tenemos que la recta verde que pasa por el foco y su simétrico corta a la directriz de la parábola en el centro radical CR desde el que hacemos las tangentes azules a una circunferencia cualquiera cuyo centro E esté sobre la recta dada y que pase por el foco y su simétrico. Si tomamos la distancia desde el centro radical a los puntos de tangencia CR-F obtenemos el radio de la nueva circunferencia cuyo centro es el centro radical, esta circunferencia de color marrón corta a la directriz en dos puntos HI por los que hacemos rectas perpendiculares a la directriz obteniendo en la intersección con la parábola los puntos de corte JK de la recta secante con la misma.

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El caso de la parábola en el Teorema de Dandelin

Observamos en el dibujo una esfera tangente a la sección parabólica del cono en el foco de la parábola. El eje de la parábola e pasa por el punto de tangencia de la esfera con el plano de sección y corta al plano donde el cono y la esfera son tangentes, esto es, el plano que pasa por la recta M.
Los dos planos -el que secciona el cono y el de contacto entre la esfera y el cono- pasan por las dos rectas e m, respectivamente, y se cortan en una recta d y que es la directriz de la parábola.
El teorema de Dandelin nos determina con facilidad el foco de una sección del cono. La solución a los ejercicios para la determinación de los focos de las cónicas consiste en hacer una esfera tangente a la sección y al cono y el punto de contacto de la esfera con la sección cónica es un foco de la cónica.















En este dibujo observamos en un perfil el cono separado en dos trozos por un corte, con la esfera tangente al plano de sección en el punto a.
Observamos también que el plano m -azul- que es el plano que pasa por donde el cono y la esfera son tangentes, corta al plano de sección del cono en la recta d, que es la directriz que la parábola.












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La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros 2 fijos (llamados focos F1, F2) es constante e igual al eje mayor V1, V2.
En el dibujo se puede observar que la distancia de F2 a un punto (en azul) menos la distancia de F1 a ese punto (en verde) es igual a V1-V2.
Para construirla se cogen puntos (desde F1 hasta el infinito y del infinito hasta F2), por ejemplo desde A hasta V1 y se hace con ella un arco con centro en F1. A continuación se coge la distancia de A a V2 y se hace un arco con centro en F2. La intersección de los 2 arcos es un punto de la hipérbola.













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Se puede dibujar una rama hipérbólica por sección de un cono en sistema diédrico: el plano vertical a que corta al cono de vértice V determina la rama de la hipérbola. Para calcularla pasamos un plano vertical m por el eje del cono, éste corta a la circunferencia base del cono en P1, punto que proyectamos al alzado obteniendo P2 sobre la línea de tierra. El plano m corta en T al plano a, por este punto hacemos una vertical hasta que corte a P2-V en G. Los demás puntos se determinan de igual forma. Para determinar el vértice E se hace una circunferencia de centro O tangente al plano a, ésta corta a la línea de tierra en Z. Por Z se hace una vertical hasta que corta a la generatriz del contorno del cono en H y por este punto una horizontal que corta a V-O en E.





















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La intersección de un conjunto de circunferencias concéntricas equidistantes son curvas hiperbólicas.






















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Dados 2 vértices cualesquiera de una hipérbola AB, construimos un rectángulo con vértice en A y dividimos sus lados en partes iguales como se dispone en la figura. Desde B trazamos una radiación que pase por los puntos 1, 2, 3 en disposición vertical. Por los puntos del otro lado del cuadrado hacemos otra radiación hasta A.
La intersección de las dos radiaciones son los puntos de la curva.























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Los puntos que se deben coger para construir la hipérbola deben estar, al igual que la elipse, entre los dos focos. La diferencia estriba en que en la elipse los puntos están dentro del segmento comprendido entre ambos puntos, mientras que en la hipérbola los puntos escogidos van desde un foco hacia el infinito y desde el infinito hacia el otro foco.
Manteniendo que toda recta tiene un punto en el infinito, se podría deducir que la hipérbola, al igual que la parábola tiene un único punto en el infinito, ya que pertenece a la misma curva y está localizado en la misma recta, no obstante en homología tenemos que cuando la recta límite corta la circunferencia en dos puntos, su figura homóloga ha de tener esos dos puntos en el infinito.






















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En la figura podemos ver en planta y alzado a la izquierda (Sistema diédrico) y en color negro un hipérboloide de revolución, se engendra por una rama hiperbólica que gira en torno a un eje. (También se puede engendrar mediante líneas rectas, por lo que es una superficie reglada alabeada). El contorno de la superficie en el alzado es una hipérbola con sus dos ramas correspondientes.
Para construir el dibujo basta con hacer un cilindro determinado por sus generatrices, si giramos una de las dos circunferencias la de la base o la de la cara superior permaneciendo quieta la otra, tenemos que las generatrices del cilindro aparecen oblicuas, ya no son rectas ortogonales a la base y por tanto la superficie tiene una concavidad en la zona central, tal y como se ve en el alzado. Para que se entienda mejor la figura se han puesto distintas proyecciones de la misma en color azul a la derecha y en el centro la superficie de color rojo gira en torno a un eje de revolución de color verde.



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Para calcular las asíntotas o rectas tangentes a la hipérbola en el infinito hacemos una circunferencia c de centro O y radio O-F1. Por la intersección de las verticales por V1-V2 y la circunferencia c tenemos 4 puntos que unidos a O definen las asíntotas de la hipérbola.























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Un ejemplo numérico lo tenemos con la hipérbola del dibujo: De V1 a un punto mide 28,69, con centro en F2 se hace un arco con esa medida.
De V2 a ese punto es 13,6, con centro en F1 se hace otro arco con esa medida que en la intersección con el arco anterior tenemos un punto de la hipérbola. La diferencia entre las 2 magnitudes es la distancia entre vértices: 15,09, según el concepto métrico de la hipérbola.




















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Intersección de recta e hipérbola




Para calcular la intersección de una recta HL (en color negro) con una hipérbola se construye la circunferencia focal que es aquella que tiene como centro uno de los focos E de la hipérbola y por radio la distancia entre los dos vértices BD de la misma.
Se calcula el simétrico F’ del otro foco F respecto a la recta dada, dibujamos una circunferencia que pase por el foco y su simétrico y que al mismo tiempo corte a la circunferencia focal en dos puntos MN. La intersección de la línea definida por MN y de la línea definida por el foco y su simétrico F-F’ determina el centro radical  CR.
Si construimos las tangentes a la circunferencia focal desde el centro radical  CR obtenemos dos puntos de tangencia OP que unidos con el otro foco C determinan en la prolongación e intersección con la recta dada los puntos de corte T1 T2 de esta recta con la hipérbola.









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Tangentes a la hipérbola.
Para construir las rectas tangentes desde un punto E a la hipérbola, construimos una circunferencia (en color amarillo) cuyo centro sea el punto dado y el radio sea la distancia desde ese punto hasta uno de los focos E-F1.
 A continuación construimos la circunferencia focal (en color violeta), que es aquella que tiene centro en el otro  foco F2  y como radio la distancia entre los vértices de la hipérbola V1-V2.
Podemos observar en el dibujo que las dos circunferencias se cortan en dos puntos A’-A’1, si alineamos estos puntos con el segundo foco F2, obtenemos al prolongar estas dos rectas dos puntos de intersección con la hipérbola T1 y T2, estos dos puntos son los de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola desde el punto exterior dado E. En consecuencia unimos estos puntos de tangencia con el punto dado  y construimos las dos rectas rojas que son en realidad las dos tangentes a la curva.
Como podemos observar en el dibujo le hemos denominado a cada una de ellas bisectriz, 1 y 2 respectivamente. Ello es debido a que si tomamos uno de los puntos de tangencia, por ejemplo T1, y lo unimos con los dos focos mediante dos rectas, podemos observar que ambas tienen por bisectriz la recta tangente, en este primer caso la bisectriz1.
 Además se cumple que respecto a esta bisectriz o tangente desde un punto, que el primer foco F1 tiene como punto simétrico respecto a la primera bisectriz el punto de intersección entre las dos circunferencias A’, igualmente el otro punto de intersección de las dos circunferencias A’1  es el simétrico de este primer foco F1 respecto a la segunda bisectriz.

La recta perpendicular p a la curva que pasa por los puntos de tangencia –en este caso por T1- es en realidad la perpendicular a la tangente en ese punto, como podemos observar en el dibujo.


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En el dibujo podemos observar un punto M desde el que se han trazado las dos tangentes -en color verde- a la hipérbola, para construir las tangentes por M hemos hecho una circunferencia de color marrón que pasa por uno de los focos H de la hipérbola. A continuación hemos dibujado la circunferencia focal CF con centro en el otro foco K y hemos alineado este foco con los puntos de intersección H'  H'1 de las dos circunferencias obteniendo en la prolongación de estas rectas los puntos de intersección con la hipérbola, esto dos puntos N O  son los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde el punto M.
Como podemos observar en el dibujo, los puntos de intersección de las dos circunferencias tienen por simétricos respecto a las rectas tangentes el otro foco H. Como novedad respecto al ejercicio anterior podemos observar que la circunferencia principal, que es aquella que tiene como centro L el de la hipérbola y radio desde el centro de la hipérbola hasta uno de los vértices J de la hipérbola, intercepta en las tangentes o ejes de simetría los puntos medios de los simétricos anteriores: H y H'1, son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro Q.
Asimismo H y H', son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro P.

La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias de cada punto a 2 puntos fijos, llamados focos, es igual al eje mayor AB.
Dados los ejes AB y CD, hacemos centro en C con la medida del semieje mayor AO un arco que corta a AB en dos puntos, éstos son los focos: F y F’.
Tomamos puntos entre los focos a diferentes distancias, por ejemplo el punto 2, con la distancia 2A y centro en F hacemos un arco y con la distancia de B a F y centro en F’ hacemos otro arco. La intersección de los dos arcos son dos puntos de la elipse simétricos respecto a AB. Otros dos se pueden obtener por simetría respecto al eje CD.


















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En sistema diédrico se puede calcular la elipse como sección del cono:
A la izquierda el plano rosa secciona al cono determinando así el eje mayor, cogemos una generatriz m que corta en la base en el punto E. Esta generatriz toca al plano de corte según vemos en el alzado en J2, bajamos este punto a la planta y obtenemos J1. La vertical por J1 hasta que corta a m1 determina Y1 que es un punto de la elipse. En el alzado abatimos la elipse para observar su verdadera forma.
A la derecha obtenemos los ejes, el plano de corte AB determina en el alzado el eje mayor. Por el punto medio de A2-B2 y por el vértice V2 pasamos la recta m. La recta m corta a la base del cono en L2, obtenemos la proyección en planta de este punto (L1) y lo unimos con V1, donde esta recta corta a la vertical por T1 obtenemos H. El eje menor de la elipse es TH.
En el alzado abatimos este eje para ver la verdadera forma de la elipse.




















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Según el teorema de Pascal, si cogemos seis puntos sobre una cónica, y los unimos dos a dos de la forma que muestra el dibujo del borde superior izquierdo-en amarillo-, tenemos en la intersección de esas radiaciones tres nuevos puntos XYZ que están siempre alineados.
Este teorema nos sirve para construir nuevos puntos de la cónica y nos demuestra que cinco elementos de la misma la definen. Estos elementos pueden ser puntos y/o rectas, indistintamente.
Dados los cinco puntos de la cónica ABDMN, determinar nuevos puntos de la misma.
1-Por el punto B se traza una recta cualquiera h, que corta a la recta que pasa por los puntos DN en un punto P.
2- Ese punto P lo unimos con el punto L, que es la intersección de las rectas que pasan por los puntos AN y BM. Tenemos de esta forma la recta que pasa por los puntos LP.
3- La recta que pasa por los puntos PL intercepta a la que pasa por los puntos MD en el punto S. la recta AS corta a la recta h en el punto Q, que es la solución. Otros puntos se calculan de forma análoga.















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En toda elipse tenemos una circunferencia que es tangente a los vértices del eje mayor de la misma, se llama circunferencia principal -de color roja en la ilustración. Si hacemos centro en el vértice superior de un punto cualquiera del eje menor de la elipse con el radio de la circunferencia principal, obtenemos los focos F1 F2 en la intersección con el eje mayor de la elipse -a esta circunferencia la llamamos en el dibujo CP.
Circunferencia focal es aquella que tiene por centro uno de los focos de la elipse-por ejemplo el foco F2- y por radio la distancia entre los vértices del eje mayor de la elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias -a, b, c, d - que son tangentes a la circunferencia focal CF y que al mismo tiempo pasan por uno de los focos F1. Así tenemos que las circunferencias b (amarilla) a (verde) c tienen sus centros en puntos de la elipse, son tangentes a la circunferencia focal y uno de sus puntos pasa por el foco de la elipse F1. De esto se desprende como caso particular que la circunferencia d que determina los focos de la elipse y tiene su centro en un vértice del eje menor de ella, es tangente a la circunferencia focal.


















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La circunferencia principal de una elipse es el lugar geométrico de los puntos de intersección que determinan las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse. Esto quiere decir que se pueden trazar infinitos rectángulos tangentes a la elipse en dos de sus lados opuestos y cuyos otros lados pasen siempre por los focos de manera que los vértices de estos rectángulos pasen siempre por la circunferencia principal, que es aquella cuyo diámetro coincide con el diámetro mayor de la elipse.































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En el dibujo observamos los rectángulos tangentes a la elipse cuyos lados pasan por los focos y cuyos vértices inciden en la circunferencia principal.
















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Una elipse la podemos construir por un método de afinidad, se trazan distintos diámetros por el centro de la elipse y en la intersección de las dos circunferencias de diámetros menor y mayor de la elipse trazamos líneas horizontales y verticales, respectivamente. La intersección de estas líneas son puntos de la elipse.




















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Aquí podemos observar un ejemplo numérico para la construcción de la elipse: el diámetro mayor de la elipse se ha separado en dos dimensiones: 20,84 y 43,65. Haciendo centro en los focos y con radio esas dos dimensiones tenemos un punto de la elipse.



















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Si hacemos las tangentes a una elipse podemos observar que estas son el eje de simetría de una curva que pasa por uno de los focos y otra curva que es un arco de la circunferencia focal -la forma de color rosa y la amarilla son simétricas y su eje de simetría es la línea de contacto entre ellas que es tangente a la elipse. Esta es otra forma de construir la elipse, si nos dan la circunferencia focal c y tomamos su centro F1 como uno de los focos de la elipse, basta con doblar el papel de forma que hagamos coincidir un punto de la circunferencia c con el otro foco F2. La línea por la que hemos doblado el papel es una tangente a la elipse ya que es el eje de simetría de la curva que al doblar el papel se ha solapado con el foco F2.
























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Construcción por haces proyectivos
Se dibuja un cuadrilátero paralelogramo y se dividen sus lados en partes equidistantes como en la figura. La intersección de haces que salen del punto medio de los lados superior e inferior hacia las divisiones equidistantes de la figura son los puntos de la curva.
Como el procedimiento se basa en un método de geometría proyectiva es válido para cualquier proyección.















Por ser un método proyectivo se conserva por proyección, no obstante es aconsejable utilizar la proyección cilíndrica ya que hay que dividir los segmentos en partes iguales y ello resulta laborioso en una proyección cónica.




















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Si en un cuadrilátero en el que se va a inscribir la elipse dividimos sus lados verticales en partes iguales, por ejemplo seis, y unimos el punto uno con el C, y hacemos lo mismo con el eje mayor de la elipse, lo dividimos en seis partes iguales y unimos el punto D con esos puntos como se muestra en la figura. La intersección de la recta que pasa por el punto D y el punto uno del eje mayor de la elipse con la recta que pasa por el punto c y el punto uno del segmento vertical tangente a la elipse por el punto B, es un punto M de la elipse.




















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Dado el diámetro a de una elipse determinar el otro diámetro conjugado. Se hace una recta paralela b al segmento dado y el punto medio M se une con el centro del diámetro dado O, que es el centro de la elipse. El segmento OM determina el diámetro conjugado de la elipse.
Si proyectamos los dos diámetros a c sobre una circunferencia-en la parte superior a’ c’-podemos observar que los dos diámetros transformados de los anteriores son perpendiculares entre sí.





















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Las medianas de un  paralelogramo -líneas rojas- son los ejes conjugados de la elipse (transformados de  las rectas de color magenta ortogonales de la circunferencia afín -azul).
Construcción por pasos.



Si hacemos un cuadrilátero paralelogramo cualquiera inscrito en una elipse, al hacer las medianas, que son las rectas que pasan por los puntos medios de lados opuestos del cuadrilátero, obtenemos dos ejes de  la elipse, que son en realidad diámetros conjugados de la misma. Para comprobar que esto es cierto hacemos una circunferencia cualquiera que corte a la elipse, como por ejemplo la de color verde, y en los puntos de intersección con la elipse, OE, tomamos el punto medio Q y lo unimos con el centro de la elipse N. Al prolongar esta recta obtenemos en la intersección con la elipse  el extremo o vértice S. 
Si hacemos una circunferencia azul cuyo centro sea el de la elipse y radio el segmento anterior NS, estamos construyendo la circunferencia principal de la elipse -en color azul. 
Al proyectar los extremos de los diámetros rojos, esto es: MJHI mediante rectas perpendiculares al eje mayor de la elipse obtenemos en la intersección con la circunferencia azul los extremos correspondientes a los ejes reales de la circunferencia transformada de la elipse, aquella que correspondería por proyección a la curva anterior. Como podemos observar efectivamente los dos diámetros ortogonales de color magenta forman 90° y se transforman por proyección sobre la elipse en los diámetros rojos que corresponden a los conjugados de la misma.

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Para construir una elipse por otro método de afinidad, basta con hacer triángulos semejantes cuyos vértices incidan por los puntos del eje menor de la elipse o por el diámetro de la circunferencia, ya que son coincidentes.
Dada la circunferencia que se va a transformar en la elipse y su diámetro a, dado un punto cualquiera de la elipse Z homólogo del centro de la circunferencia O, determinar la elipse afín de esta circunferencia.
Unimos el punto P con el punto Z y tenemos el triángulo rojo OPZ. Por un punto cualquiera u del diámetro a de la circunferencia hacemos otro triángulo semejante -en color verde-, esto quiere decir que por él punto U hacemos una recta m’ paralela a la recta m. Hacemos otra recta UT paralela a la recta OP hasta que corte la circunferencia en el punto T. Por el punto T hacemos una paralela d’ a la recta d hasta que corte a la recta m’, la intersección de las dos rectas m’ d’ nos determina el punto Z’, que es un punto de la elipse.
Para hallar nuevos puntos de la elipse basta con hacer triángulos semejantes al anterior, esto es, triángulos que tengan sus lados paralelos y cuyos vértices pasen por la recta a y por puntos de la circunferencia.



















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Dados los ejes conjugados de la elipse (los correspondientes por proyección a los ejes ortogonales de la circunferencia), determinar el eje mayor y menor de la elipse.

Método de Mannheim:
Dados los ejes conjugados de la elipse (en azul claro w, q), hacemos centro en O (intersección de los ejes conjugados) con la distancia OB (B es el extremo del semieje conjugado) y dibujamos el arco a.
Creamos una línea rosa t perpendicular a OB y donde esta corta al arco a obtenemos Z, lo unimos con N (extremo del otro diámetro conjugado). Hacemos centro en V, punto medio del segmento ZN y hacemos una circunferencia de radio VZ.
Unimos V con O obteniendo como intersección con la circunferencia de centro V el punto P: PN (m) es la dirección del eje mayor de la elipse y su perpendicular m’ la dirección del otro eje.
La longitud de los dos ejes es: OP para el eje menor y OF (F es la intersección de m´ con OP) para el eje mayor. Los ejes los determinamos gráficamente como la intersección de C (circunferencia verde) con k (eje paralelo a m’) y de C´ (circunferencia roja) con ñ (eje paralelo a m).





Mannheim - GeoGebra Hoja Dinámica







Mannheim




















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Dada una elipse construimos dos diámetros conjugados ML IJ y por el centro K de la misma hacemos una recta perpendicular KN a uno de los diámetros IJ.
Dibujamos una circunferencia cuyo diámetro sea IJ y tenemos que corta a la perpendicular anterior en el punto N que unido con el extremo del otro diámetro L tenemos una recta que la consideramos como el diámetro de la circunferencia de centro O. Uniendo este centro de la circunferencia con el centro de la elipse tenemos una recta que corta a la circunferencia azul en los puntos PQ.
QL y PL son las direcciones del eje mayor y menor de la elipse, respectivamente.
La distancia QK es la que corresponde al semieje menor mientras que la distancia KP es la que corresponde al semieje mayor.


Ejes elípticos de Chasles - GeoGebra Hoja Dinámica




Ejes elípticos de Chasles























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Dada una elipse definida por cinco puntos ABCDE, se trata de calcular el eje mayor y menor de la misma.
Construimos dos rectas secantes paralelas a la cónica y tomamos los puntos medios GH de los segmentos que definen las secantes al cortar la elipse. Hacemos una recta que pasa por ambos puntos y tenemos un diámetro de la elipse que pasa por su centro, que es el punto medio K de IJ. Construimos una recta paralela a las dos secantes y tenemos el otro diámetro LM. Ambos diámetros son los conjugados de la elipse, los que corresponden a dos diámetros perpendiculares de la circunferencia en la que se podría transformar la elipse por proyección.
Por J hacemos una recta perpendicular al otro diámetro conjugado LM y hacemos centro en este punto J para construir una circunferencia azul cuyo radio sea la distancia KM (JO).
Esta circunferencia azul corta a la recta verde que pasa por el punto J en P, que unido al centro de la elipse K obtenemos un diámetro del que hacemos la circunferencia (en azul oscuro).
Unimos J con el centro de la circunferencia azul obscura y tenemos que ésta recta la corta en los puntos NR.
Uniendo el centro de la elipse K con RN tenemos la dirección de los dos ejes, el mayor y el menor, de la elipse.
La distancia desde el punto R hasta J es el semieje menor de la elipse mientras que la distancia de N a J es el semieje mayor de la elipse.
Ejes elípticos - GeoGebra Hoja Dinámica


Ejes elípticos - GeoGebra Hoja Dinámica







Ejes elípticos























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Dada una elipse definida por cinco puntos ABCDE, determinar el eje mayor y menor, sin métodos complicados como los de Chasles y Mannheim.
Según el método de Néstor Martín, modestias aparte, hacemos dos rectas secantes BF CE a la elipse, ambas paralelas, y tomamos sus puntos medios GH por los que trazamos una recta, de esta forma obtenemos la línea IJ de la que tomamos el punto medio K que es el centro de la elipse.
Por el centro de la K elipse hacemos una recta paralela a la recta CE. Esta línea que acabamos de hacer y la línea IJ son los ejes conjugados de la elipse.
Hacemos una circunferencia verde cualquiera tomando como centro el de la elipse y un radio menor que el eje mayor del elipse. Esta circunferencia verde corta a la elipse en MN. Los unimos mediante una recta y hacemos su mediatriz determinando en la intersección con la elipse el punto O. El segmento OK es el semidiámetro mayor de la elipse mientras que una perpendicular a este segmento por el centro de la elipse nos determina una línea que corta a la elipse en el punto P. El segmento PK es el otro semidiámetro del elipse, el menor.



Teorema de Dandelin

Existen 1 o 2 esferas tangentes interiores a un cono y a un plano de sección. Este plano determina los focos de las cónicas en los puntos de tangencia con las esferas.
Los planos que definen la intersección de las esferas con el cono (2 circunferencias) y el plano de la cónica determina las directrices de la misma.















En este perfil observamos 2 esferas (en rosa y amarillo) con un plano p tangente a ambas. Este plano p que secciona al cono según la elipse azul m de eje mayor TY (extremos de la sección del cono). La intersección de p y los planos donde las esferas son tangentes al cono: j, k, son 2 rectas paralelas al eje menor.
El plano p lo proyectamos y abatimos para obtener en verdadera forma la elipse. El eje mayor TY de la elipse se transforma al proyectarla en T’Y’, el centro de la elipse es el punto medio O’ por ser una curva simétrica respecto a los dos ejes principales. Los focos son los puntos de tangencia DF de las esferas con el plano p proyectados sobre la elipse: D’F’. Para obtener el semieje menor de la elipse LO se hace un plano e por O perpendicular al eje del cono en cuya sección abatida lo observamos en verdadera magnitud. A continuación lo colocamos sobre la elipse azul ortogonal a T’Y’ y a partir del centro de la elipse: L’O’.














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Tangentes desde N (intersección de la directriz y prolongación del eje mayor de la elipse) a la c. focal y a la elipse.




En la figura podemos observar  el alzado de un cono con dos esferas interiores tangentes al mismo. Un plano oblicuo que secciona al cono y que es tangente a las dos esferas en dos puntos, intercepta como sección una elipse cuyos focos son los puntos de contacto con las esferas, conforme al teorema de Dandelin.
Este plano que vemos en el perfil, proyectante vertical llamado en el dibujo e, intercepta con el contorno del cono en los vértices de la elipse JK. El punto medio L entre estos dos vértices es el centro de la elipse. Hemos hecho la sección abatida, que significa que hemos cogido la elipse de color azul y la hemos girado 90° respecto a su eje mayor hasta hacerla coincidir en verdadera forma con el alzado de la figura.
Al hacer una recta perpendicular  al eje mayor de la elipse desde uno de los focos F obtenemos el punto M en la intersección con la elipse.
Al hacer una recta tangente -en color azul- por M obtenemos en la intersección con el eje mayor el punto N, por el que trazamos una recta perpendicular al eje mayor, esta recta es la directriz1 de la elipse. También la podemos obtener como intersección de los dos planos, el plano de corte e correspondiente a la elipse,  con la prolongación del plano de contacto correspondiente a la circunferencia de intersección de la esfera inferior con el cono, esto es, el plano que pasa por E-F1.
Si construimos la circunferencia focal, podemos observar que el punto de tangencia F'2 de la recta tangente que pasa por N hasta la circunferencia focal, es  el punto simétrico  del foco F respecto al eje correspondiente a  la recta tangente azul anterior tg, la recta tangente a la elipse.
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En el dibujo tenemos un ejercicio como el anterior, un cono en el alzado seccionado por un plano que al mismo tiempo es tangente a dos esferas. En el alzado los elementos se transforman en dos rectas correspondientes al contorno y al mismo tiempo generatrices del cono que se cortan en C, o vértice del cono, el plano de sección en la recta HI y las dos esferas en circunferencias ocre y morada.
Si construimos la circunferencia principal cuyo diámetro es la longitud del segmento en alzado con los extremos de corte del cono, esto es, los puntos HI y tomando como centro el punto medio J de estos dos extremos hacemos la circunferencia de radio JM, siendo M la intersección de la recta perpendicular al eje mayor HI por el centro J (punto medio) con la circunferencia principal de radio JH.
Si trasladamos el centro J de esta circunferencia principal hasta uno de los focos  de la elipse, por ejemplo el punto G, que es el punto de contacto del plano de sección con una de las esferas, obtenemos la circunferencia verde de centro G y radio GN. Esta circunferencia corta al eje JM en el punto amarillo O, que es el vértice de la elipse correspondiente a uno de los extremos del eje menor de la elipse.
Esto se basa en que el semieje mayor JH es igual  a OG.

























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Tangentes a las cónicas.
Para hacer las tangentes t1 t2 a una cónica cualquiera desde un punto P, se trazan dos secantes s1 s2 a la misma y en los cuatro puntos de intersección con la cónica se hacen las diagonales n, m y las secantes d, a. La intersección de nm y da son dos puntos por donde pasa la polar. La polar corta a la cónica en los puntos de tangencia desde donde podemos trazar las tangentes t1 t2 desde P.










Con la construcción de una cadena de Steiner se puede construir una cónica:

http://inversas-de-figuras.blogspot.com.es/2012/02/circunferencia.html

Polo C y polar (recta verde).



















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Intersección de una recta con la elipse






Para calcular la intersección de una recta FG con una elipse, se construye la circunferencia focal (circunferencia de centro en uno de los focos A y con el radio el eje mayor de la elipse AE) y a continuación se hace el punto simétrico B’ del otro foco B. A continuación construimos el centro radical K de las circunferencias que pasan por los puntos BB’ y son tangentes a la circunferencia focal. Para ello construimos una circunferencia cualquiera (en color azul) que corta a la circunferencia focal en los puntos IJ, la prolongación de la recta que define estos puntos corta a la recta que pasa por BB’ en el centro radical K, punto desde el que hacemos las tangentes a la circunferencia focal. Uniendo los puntos de tangencia LM de estas dos últimas líneas tangentes a la circunferencia focal con el foco A obtenemos en la intersección con la elipse los dos puntos de corte NO de la recta dada con la elipse.

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Tangentes de la elipse, construcción considerando la circunferencia focal.




Ejercicios construidos mediante propiedades de la circunferencia focal.
La circunferencia focal (en color rosa) es aquella que podemos construir tomando centro en uno de los focos F1 y radio igual al eje mayor de la elipse AC.
Existe una peculiaridad importante de esta circunferencia y es que si hacemos una recta tangente a, a la elipse, al hacer el simétrico H de uno de los focos F2 respecto a esta recta tangente obtenemos un punto que pasa por la circunferencia focal, además, si unimos este punto con el otro foco obtenemos en la intersección con la recta tangente el punto de tangencia M de esa recta tangente con la elipse. Esta característica nos sirve para hacer numerosos ejercicios.

Dados los dos focos de una elipse F1 F2 y una recta tangente a, determinar los ejes mayor y menor de la elipse.
Construimos el punto simétrico  del foco segundo F2 respecto a la recta tangente, de esta manera obtenemos el punto H. Unimos este punto con el otro foco F1, donde esta recta azul corta a la tangente dada obtenemos el punto de tangencia M. Si tenemos este punto que corresponde a la elipse ya tenemos los demás datos, ya que sabemos que la distancia de H a un foco sumado a la distancia de ese mismo punto al otro foco es igual al eje mayor de la elipse, por tanto tomamos estas dos distancias sumadas y las convertimos en un solo segmento y lo centramos en la línea que pasa por los focos de la elipse, pudiendo dibujar así el eje mayor de la misma  AC. Por el punto medio de este segmento –el origen de coordenadas- hacemos una recta perpendicular al eje mayor, y tomando la distancia desde el centro de la elipse hasta uno de los vértices, por ejemplo el punto C, hacemos centro en uno de los focos, y construimos un arco que corta a la perpendicular anterior en dos puntos, los correspondientes a los vértices de los ejes menores de la elipse, los puntos BV. Este último trazado se basa en que la distancia desde el vértice  B hasta el foco F2 es igual a la distancia desde el centro de la elipse al vértice C.

Dados dos focos de una elipse y un punto H de su circunferencia focal, determinar los ejes mayor y menor de la elipse.
Unimos el punto de la circunferencia focal dado H con el foco más cercano F2, por el punto medio de este segmento trazamos la perpendicular o mediatriz, esta recta será tangente a la elipse. Para calcular el punto de tangencia con la elipse unimos el punto dado de la circunferencia focal con el otro foco, donde esta recta H-F1 corte a la tangente a obtenemos el punto de tangencia M.
A partir de aquí ya es igual al ejercicio anterior.

Dada la circunferencia focal –en color rosa- y uno de los focos de la elipse –el que no es centro de la circunferencia focal, o sea F2-, determinar puntos de la elipse.
Tomamos un punto cualquiera de la circunferencia focal, por ejemplo el punto H, lo unimos con el foco dado F2 mediante un segmento del que calculamos la mediatriz a. Uniendo el punto H con el centro de la circunferencia focal F1, que se obtiene por la intersección de dos mediatrices de dos rectas secantes cualesquiera de la circunferencia, obtenemos en el punto de intersección de este segmento F1-H con la recta tangente a, un punto de la elipse M, que al mismo tiempo es el punto de tangencia de la recta tangente a la elipse.
Para calcular otros puntos se hace exactamente igual, se toma un punto cualquiera de la circunferencia focal y se une con el foco dado, la mediatriz es otra tangente a la elipse de la que calculamos el nuevo punto como intersección del segmento que une el centro de la circunferencia focal con el nuevo punto escogido de la circunferencia focal.

Dada la circunferencia focal y una recta a tangente a la elipse además del punto de tangencia M, determinar los ejes mayor y menor de la elipse.
Calculamos el centro de la circunferencia focal, que será uno de los focos de la elipse. Para construirlo dibujamos dos rectas secantes cualesquiera de la circunferencia focal, construimos sus mediatrices y en el punto de intersección de ambas obtenemos el centro de la misma.
Unimos el centro de la circunferencia focal F1 con el punto de tangencia M y prolongamos esta recta hasta que corte a la circunferencia focal en el punto H. Calculamos el simétrico de H respecto a la recta tangente dada, este nuevo punto obtenido es el otro foco de la elipse F2. Como ya tenemos los focos y un punto de la elipse M podemos obtener los demás datos.



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Dadas dos rectas tangentes a la elipse (a,b) y la circunferencia focal, obtener los ejes mayor y menor de la elipse.
Como el foco F2 es un punto simétrico respecto a un punto H de la circunferencia focal, siendo el eje de simetría la recta tangente, tomamos el segmento circular de la recta tangente a, la franja correspondiente al tono amarillo superior, y hacemos lo mismo con el segmento circular de la recta b.
Al hacer las figuras simétricas de los segmentos circulares amarillos anteriores obtenemos las formas geométricas en azul y verde claro, la intersección de las circunferencias de ambos segmentos circulares determinan el foco F2.
Si tenemos los dos focos y las rectas tangentes podemos obtener ya los demás elementos de la elipse, ya que desde el foco hacemos las rectas perpendiculares a ambas tangentes y obtenemos como simétrico de éste punto respecto a las rectas tangentes dos puntos H I de las circunferencias focales que unidos con el otro foco F1 determinan en la intersección con las tangentes los puntos de tangencia MG.


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La circunferencia principal respecto a las tangentes de la elipse


Para toda tangente de la elipse, en el dibujo en color verde, se tiene que es la bisectriz de dos rectas que pasan por los focos y por un punto de la misma (bisectriz de las rectas AF y BF). 
Como podemos observar en el dibujo al prolongar la recta obtenemos en la intersección con la circunferencia focal CF (circunferencial cuyo centro está en uno de los pocos del elipse y radio el eje mayor del elipse), el punto simétrico del foco B respecto a la tangente.
 Como podemos observar también en el dibujo el punto de intersección de la recta amarilla que une los dos puntos simétricos BB' con la tangente es siempre un punto G de la circunferencia principal, circunferencia de color azul en el dibujo que pasa por los vértices TC del eje mayor de la elipse y cuyo centro R es también el de la elipse.

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Aplicaciones prácticas de las curvas cónicas y su existencia en la naturaleza.
La parábola se da en los faros de los coches, en los focos, en las antenas de radio y televisión, en los radiotelescopios; todos ellos se sirven de la parábola cuyos rayos de proyección salen o entran paralelos al eje de la parábola desde o en dirección al foco.
Se da también en los arcos de los puentes, en el diseño de las cabezas de misiles, en cables de puentes colgantes con carga de distribución uniforme, en estufas eléctricas, en telescopios reflectantes, en un fluido de un recipiente rotatorio por efecto de la fuerza centrífuga, excepcionalmente en órbitas planetarias bisagras entre elipses e hipérbolas -entre lento y rápido desplazamiento, respectivamente-, en superficies de carrocerías y fuselajes por su carácter aerodinámico, en la trayectoria de la curva que describe un objeto al ser lanzado con campo gravitatorio homogéneo y despreciando la resistencia al aire, como por ejemplo un misil.
La parábola no hay que equivocarla con la curva catenaria, de forma parecida, que es la curva que adopta una cuerda colgada desde dos de sus puntos por su peso.
Cuando varios proyectiles se disparan desde un cañón en distintas direcciones, el conjunto de las trayectorias que siguen estos proyectiles definen una envolvente que nunca es rebasada por ninguna de las trayectorias. Esta envolvente es una parábola de revolución llamada de seguridad, (esto es la superficie generada por la revolución de una semiparábola).
Esta envolvente de todas las parábolas tiene en su tangente por el vértice una línea que es directriz de todas las parábolas, esto es, una recta perpendicular a todos los ejes de las parábolas.



La elipse se da en las órbitas de los cuerpos celestes que giran en torno a otro, en misiles con trayectoria intercontinental en los cuales hay mayor fuerza y donde g ya no es constante.
La elipse se da en secciones de bóvedas y formas de distintos arcos, también en la perspectiva de nuestra percepción las circunferencias las podemos ver como elipses.
La bóveda del techo del andén del metro tiene una curvatura elíptica, lo que facilita una buena acústica.
Las piedras erosionadas por el agua del río son formas aproximadas a elipsoides cuyas secciones se acercan en la forma a secciones elípticas. La perspectiva oblicua de una circunferencia desde una proyección paralela o cilíndrica sobre un plano es una elipse (siempre y cuando los planos no sean paralelos), si la proyección es cónica resulta una cónica cualquiera.
Si 2 jugadores nos pasamos el balón dentro de un recinto sin necesidad de tener que coger nunca la pelota, debemos disponer de un recinto con forma elíptica. Nos colocamos en los focos de la elipse y cuando el balón rebote con los muros en forma de elipse siempre irá a la otra posición donde está la otra persona, en el otro foco de la elipse. Si juego yo solo al frontón contra las paredes y quiero que el balón siempre venga de vuelta, la elipse debe tener sus 2 diámetros iguales, esto es, ser una circunferencia.

La hipérbola se da en el redondeo de piezas, en la proyección de las sombras de casi todos los focos y pantallas que hay en la casa, en la intersección de las circunferencias equidistantes que provocan dos piedras lanzadas al agua, en las centrales térmicas de torres de refrigeración.
La hipérbola es la curva fronteriza o envolvente de una zona de audio: un avión que se desplaza con velocidad constante y movimiento rectilíneo propaga el ruido de su motor en esferas crecientes. Según se desplaza las esferas que va dejando atrás son cada vez mayores y la curva envolvente de esas esferas es un hiperboloide. La proyección ortogonal de estas esferas y del hiperboloide es, respectivamente, un conjunto de círculos y una hipérbola envolvente a las mismas.
Cuando un palo está clavado ortogonalmente sobre el suelo y es iluminado por el sol, la sombra que produce el extremo del palo es una hipérbola.


Las curvas cónicas se dan en general en casi todos los diseños en los que se quiere que las superficies sean suaves y aerodinámicas, esto es, que no se note la transición entre en el enlace de las superficies, como son las superficies de cascos de barcos, de fuselajes de aviones, de carrocerías de automóviles, etcétera. http://la-aerodinamica.blogspot.com/
También se dan de forma genérica en los movimientos de cuerpos celestes, que según la fuerza de atracción puede generar cualquiera de las cónicas: si el objeto sigue una trayectoria rectilínea por el espacio -despreciando la curvatura del espacio- y es atraído por la órbita de otro describe una forma hiperbólica, excepcionalmente parabólica. Si el objeto que lo atrae tiene fuerza suficiente para incorporarlo en su propia órbita, éste describe una curva elíptica en cuyo foco está el objeto.
Las bóvedas tienen por sección formas cónicas y los arcos suelen tener por lo general forma parabólica, elíptica o circular.
Igual que en las leyes de la mecánica, que provocan que la trayectoria del balón salga de un foco de la elipse y choque con una pared del campo elíptico y vaya al otro foco, pasa lo mismo con las leyes de la reflexión y refracción en óptica con todas las cónicas.
Un rayo de luz que salga de un foco rebota en la pared de un espejo elíptico y vuelve al otro foco. En el caso de la parábola si el punto de luz está en el foco de la misma, el rayo, al tocar la superficie parabólica, sale reflejado en una dirección paralela al eje de revolución del paraboloide por eso todos los faros son paraboloides de revolución, mientras que si la superficie es hiperbólica, el rayo de luz que sale del foco rebota con la superficie y sigue una dirección definida por ese punto y el otro foco.