miércoles, 13 de octubre de 2010

La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro llamado foco F y de una recta d llamada directriz. Análogamente es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a d e incidentes en el foco.
En toda parábola el vértice V equidista del foco y de la directriz: dV=VF, siendo la directriz una recta perpendicular al eje de la curva, que es su eje de simetría.
Para trazarla se hacen distintas perpendiculares al eje (por ejemplo la recta a), se toma la distancia de la perpendicular a la directriz da, y con ese radio se hace una circunferencia de centro en F y radio da. Los 2 puntos de intersección de da y a son puntos simétricos de la curva.

























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Podemos observar un ejemplo con números: por un punto cualquiera, el 5 por ejemplo, hacemos una perpendicular al eje. Con la distancia 5H (del punto 5 a la directriz D) hacemos centro en F y donde corte a la perpendicular que pasa por el punto 5 son los 2 puntos de la parábola.






















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2 rectas que se cortan se enumeran en orden creciente y decreciente en el mismo número de puntos. Se unen a continuación los puntos: 1 con 1, 2 con 2, etc., La curva resultante es la envolvente de la parábola tangente a las 2 rectas originales.






















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Se dividen 2 rectas horizontal y vertical en igual número de puntos como en la figura.
Sobre los puntos de la vertical se trazan horizontales y sobre los puntos de la horizontal se hacen rectas hacia el vértice de la parábola. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de la parábola.





















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2 rectas que se cortan se dividen en igual número de puntos en el orden de la figura, por ejemplo del 0 al 9. El punto 0 de una recta se une con los de la otra recta, y el punto 9 de la otra con todos los puntos de la otra recta. La intersección de las 2 radiaciones son los puntos de una parábola.



















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En rectas y circunferencias equidistantes, la intersección de cada recta con cada circunferencia son los puntos de curvas parabólicas.





































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Nos dan C, un punto de la curva, el vértice o pto. 7 y el eje y de simetría de la parábola o principal, se pide calcular otros puntos.
 Hacemos desde C una perpendicular al eje y hacemos su simétrico D respecto al eje.
ED lo dividimos en un nº de partes iguales, por ejemplo 7, dividimos también entre el mismo nº el segmento E7
Unimos C con cada una de las divisiones de E7 y prolongamos las líneas hasta que corten a a las paralelas al eje E7 por cada una de las divisiones de  ED.
Esas intersecciones son puntos de la parábola.

Si queremos obtener el foco y directriz, cogemos uno de los rayos verticales verdes, por ejemplo h, y por el pto. K de intersección con la parábola hacemos la tangente p.
Construimos su perpendicular r por k y luego la recta simétrica  de h respecto al eje de simetría  r, obteniendo z.
Donde corte z al eje principal n tenemos el foco A.
La directriz c es la perpendicular al eje principal n por B, que es el simétrico del foco A respecto al vértice V.


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Si en dos ejes a b cuya intersección es P dividimos en a segmentos iguales (1, 2, 3, 4,...)a partir de P y por un punto aleatorio M de a (a la derecha de a, como en el dibujo) hacemos circunferencias que pasen por 1, 2, 3, 4, y por M obtenemos circunferencias que cortan a la recta b en D, V, etc. Por la intersección de estas circunferencias y b hacemos horizontales que cortan a las verticales por 1 2 3 4 en puntos de la parábola.






















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Todas las parábolas tienen la misma forma, en el dibujo observamos parábolas iguales pero a distintas distancias. Si cogemos una de ellas y la escalamos siempre sale igual de forma a la anterior ya que todas son proporcionales. Son por tanto en esto las parábolas curvas iguales a las circunferencias, ya que también son siempre iguales de forma aunque puedan tener distintos tamaños.












http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-lambert.html




El hecho de que la parábola sea igual siempre en forma, aunque varíe su tamaño está relacionado con la circunferencia, curva en la que también se da el caso de que todas las circunferencias son iguales, también de forma aunque puedan ser de distinto tamaño.
La razón la podemos ver en el dibujo, la parábola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta directriz y que pasan por el foco de la parábola. Como según el concepto de la parábola la distancia del foco a un punto es igual que la distancia de ese punto a la recta directriz, tenemos que estos dos radios iguales determinan la circunferencia cuyo centro es un punto de la parábola. Si ampliamos la parábola o la reducimos, el dibujo de las circunferencias y la curva parabólica es siempre igual, ya que los dos radios considerados de cada circunferencia también son invariables, por tanto la curva tiene siempre la misma forma.


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Dados el foco de la parábola y dos puntos de la misma AB, determinar el eje, el vértice y la directriz de la parábola.
Hacemos el arco capaz de 90° por AF, esto es, hacemos una circunferencia cuyo diámetro sea el foco F y un punto A.
Hacemos otra circunferencia que pase por el foco F y por el otro punto B.
Construimos una recta tangente -en color rojo- a las dos circunferencias y por el foco hacemos la perpendicular a esa tangente obteniendo de esta forma en su intersección el vértice V de la parábola. La línea que pasa por el vértice y el foco es el eje de la misma, para obtener la directriz hacemos centro en el vértice y tomando como radio la distancia del vértice V al foco F, hacemos un arco que corte al eje a esa distancia VF. En ese punto de intersección hacemos una perpendicular al eje -en verde- y esa es la directriz de la parábola. La resolución del ejercicio se basa en que toda tangente a la parábola intercepta a la recta roja que pasa por el vértice, en un punto que, unido al foco, se tiene que es perpendicular a la tangente.

















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Intersección de recta y parábola





Para calcular los puntos de intersección JK de una parábola con una recta dada (en color negro) dibujamos el punto simétrico del foco respecto a la recta dada, tenemos que la recta verde que pasa por el foco y su simétrico corta a la directriz de la parábola en el centro radical CR desde el que hacemos las tangentes azules a una circunferencia cualquiera cuyo centro E esté sobre la recta dada y que pase por el foco y su simétrico. Si tomamos la distancia desde el centro radical a los puntos de tangencia CR-F obtenemos el radio de la nueva circunferencia cuyo centro es el centro radical, esta circunferencia de color marrón corta a la directriz en dos puntos HI por los que hacemos rectas perpendiculares a la directriz obteniendo en la intersección con la parábola los puntos de corte JK de la recta secante con la misma.

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El caso de la parábola en el Teorema de Dandelin

Observamos en el dibujo una esfera tangente a la sección parabólica del cono en el foco de la parábola. El eje de la parábola e pasa por el punto de tangencia de la esfera con el plano de sección y corta al plano donde el cono y la esfera son tangentes, esto es, el plano que pasa por la recta M.
Los dos planos -el que secciona el cono y el de contacto entre la esfera y el cono- pasan por las dos rectas e m, respectivamente, y se cortan en una recta d y que es la directriz de la parábola.
El teorema de Dandelin nos determina con facilidad el foco de una sección del cono. La solución a los ejercicios para la determinación de los focos de las cónicas consiste en hacer una esfera tangente a la sección y al cono y el punto de contacto de la esfera con la sección cónica es un foco de la cónica.















En este dibujo observamos en un perfil el cono separado en dos trozos por un corte, con la esfera tangente al plano de sección en el punto a.
Observamos también que el plano m -azul- que es el plano que pasa por donde el cono y la esfera son tangentes, corta al plano de sección del cono en la recta d, que es la directriz que la parábola.












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Una parábola apoyada sobre el eje de abscisas su foco dibuja una curva catenaria.

Una catenaria -curva azul- es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena, o hilo, sin rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme.
 Es una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la tractriz es la catenaria.
 Christiaan Huygens, a los 17 años, quien demostró que la curva no era realmente una parábola, sino sólo una curva parecida, aunque no encontró la ecuación de la catenaria.
La ecuación fue obtenida por Gottfried LeibnizChristiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690 y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria


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