Las cónicas

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano que no pasa por el vértice se pueden generar las siguientes curvas:
Elipse (e): el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz y corta a todas las generatrices del cono. Es una curva cerrada sin puntos en el infinito.
Parábola (p): el plano de corte es paralelo a una generatriz y tiene un punto en el infinito.
Hipérbola (h): el plano de corte es paralelo a 2 generatrices y tiene dos puntos en el infinito.
Circunferencia: el plano es ortogonal al eje de revolución y es un caso particular de la elipse en el que los dos ejes son iguales.
























Cónicas por homología:

http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/construccion-de-conicas-por-homologia.html


Generación proyectiva de las cónicas.

Como en toda homología, todas las series de puntos se corresponden con otras series y los haces de rectas se corresponden con otros haces de rectas, una cónica se convierte en otra cónica por homología.
En la figura vemos varias propiedades de las homologías sobre las cónicas, los puntos homólogos S S’están alineados con el centro de proyección O, la rectas homólogas a a’ se cortan en el eje, los puntos del eje son dobles u homólogos de sí mismos, que quiere decir que si una figura corta al deje de homología en los puntos, su homóloga pasa por esos dos puntos, resultando estos invariables.
Las tangentes a una cónica lo son también a su homóloga. En dos crónicas homólogos el polo y polar de una tiene en sus homólogos otro polo y polar de la otra.
Cualquier cónica es posible transformarla en una circunferencia, de esta forma obtenemos puntos homólogos de la circunferencia obteniendo así nuevos puntos de la cónica.


Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.
Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.

 En el dibujo observamos varias circunferencias concéntricas que cortan al eje horizontal en varios puntos (A, B, C,...) por los que hacemos rectas verticales.

 Considerando el punto rojo como foco de una parábola y tomando una de las tangentes, por ejemplo la que pasa por el punto I, tomamos el punto medio entre ambos puntos y ese es el vértice de la parábola (E). 

La intersección de las circunferencias concéntricas con las rectas verticales nos determinan la parábola roja.

 Consideremos ahora la tangente de color verde que pasa por el punto H. El vértice quedará en el punto medio de AH. La intersección de cada una de las circunferencias concéntricas con las verticales nos determinan los cuatro puntos negros por donde pasa la parábola verde.

 Por cuatro puntos siempre pasan tres cónicas, si ahora tomamos un punto interno hacia la izquierda, como por ejemplo el punto A, tenemos que por los cinco puntos pasa una elipse, mientras que si tomamos un punto externo hacia la derecha, por ejemplo el punto J tenemos que por los cuatro puntos negros más J pasa una hipérbola, ello es debido a que en el caso del elipse es una curva cerrada mientras que en el caso de la hipérbola los cuatro puntos pueden pertenecer a una rama de la hipérbola pero el punto J ya determina otra rama.

Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.
Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.


Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.
Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.



Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.


En los casos anteriores los elementos, fueran puntos o fueran rectas tangentes, eran siempre incidentes (cuando existía una tangente, había un punto de la cónica que estaba sobre ella) y por lo tanto existía una única cónica que pasaba por los puntos y era tangente a las rectas. En el caso de que los elementos no sean incidentes, la solución ya no es sólo una única cónica sino que pueden ser más, por ejemplo, si tenemos tres puntos y dos tangentes a la cónica, como es el enunciado de este dibujo, el ejercicio tiene cuatro soluciones.
En el ejercicio sin embargo aparece resuelta una única solución, aquella en la que la circunferencia amarilla es tangente a las dos rectas dadas y pasa por dos puntos de la cónica.
Si alineamos el punto E el centro de homología O corta a la circunferencia en el punto E’. En este punto lo alineamos con otro punto T’ de la circunferencia y corta al eje en un punto que unido con E determina T en la intersección de la recta OT’. T es un punto de la cónica y si unimos su homólogo T’ con el punto de tangencia G’ tenemos un punto de intersección en el eje que unido al punto T tenemos en la prolongación el punto G en la intersección con la tangente b.

Si desde C hacemos las tangentes a una cónica,  sus puntos de contacto definen la polar g. 

Desde C tenemos las secantes a la cónica (p. ej., recta verde) que la cortan en H G.

CHEG forman una cuaterna armónica, puntos por los que pasan las fugas de un cuadrilátero en perspectiva cónica y sus diagonales.

Demostración a partir de los teoremas de Menelao y Ceva:

Cuaterna armónica a partir de Menelao y Ceva

Teoremas de Menelao y Ceva (demostración)

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En la figura de la izquierda observamos una elipse con dos líneas azules que definen la unión de los dos focos BC con un punto  cualquiera de la elipse E.

La bisectriz de esas dos líneas siempre nos da la normal y la tangente, en color rosa y marrón respectivamente. Si tomamos el foco C  y hacemos el simétrico respecto a la tangente tenemos que al mover el punto E,  el simétrico de C siempre se mueve sobre la circunferencia focal gris,  cuyo radio es el eje mayor AD y el centro uno de los focos B.

Si ahora cogemos la figura del centro -Hipérbola- y tomamos otras dos líneas GO - OJ y aplicamos su tangente - qué es la bisectriz  de ambas- también en color marrón, observamos que al hacer el simétrico de uno de los focos respecto al eje que es la tangente, siempre se mueve sobre una circunferencia focal (en azul) cuyo radio es la distancia entre los vértices de la hipérbola HI,  y con centro en uno de los focos G.

A la derecha tenemos una parábola en color verde con su tangente en color marrón que también es la bisectriz de dos líneas que podemos trazar por  kN y por k’N, al hacer el simétrico K’ del foco K respecto al eje que es la tangente podemos comprobar que siempre sale sobre la recta directriz de color rosa.


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En la figura observamos dos conjuntos de circunferencias concéntricas, la intersección de ambas configuraciones generan elipses e hipérbolas en color magenta y verde respectivamente

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En el dibujo podemos ver las tres cónicas y una representación gráfica de las mismas, se muestra cómo representar gráficamente el concepto de cada una de las cónicas. 

En el caso de la elipse observamos que las distancia de un punto a los Focos, que aparece representada con dos segmentos de color naranja y azul, los giramos y los convertimos en dos segmentos de color morado y rojo, respectivamente.

El eje mayor de la elipse KI observamos que coinciden en tamaño con los segmentos de color morado y rojo que es en realidad la traslación del segmento mayor de color marrón hasta hacerlo coincidir sobre el punto J, esto quiere decir que cojamos el punto que cojamos de la elipse al hacer todo este proceso siempre trasladando el eje mayor coincide con los dos segmentos horizontales que pasan por el punto el elegido, de lo que se desprende que siempre saldrá esa forma de romboide o de rectángulo en el caso en el que el punto esté situado sobre el eje menor.

 En el caso central de la hipérbola observamos como la distancia de un punto E a un Foco A  menos la distancia de E al otro foco D nos determina la distancia entre vértices BC o AF.

Por ello lo que hacemos es pasar la distancia verde mediante un giro y ponerla sobre la recta AE (El segmento verde se gira y se convierte en el rojo),de esta manera  le quitamos a ese segmento el segmento rojo  y nos queda solo el azul que necesariamente debe ser igual al naranja,

A continuación mediante un giro de centro en el vértice B lo colocamos de manera que sea paralelo al segmento azul con lo cual observamos que ahí sale un paralelogramo y eso demuestra que efectivamente el segmento naranja es igual al azul, el concepto mismo de la hipérbola.

En el caso de la derecha de la parábola,  todas las circunferencias que tienen por centros puntos de la parábola son tangentes a la directriz PL y pasan por el foco N ,es el concepto mismo de parábola.

Teorema de Dandelin

En la figura observamos un alzado de un cono en color azul con dos esferas tangentes inscritas en el mismo, ambas en color verde. Existe un plano tangente en color magenta a las dos esferas cuya sección del cono es una elipse, esta curva se ha girado para que se pueda ver en su verdadera forma, es como una sección abatida.

 Esta sección elíptica  es tangente a las esferas en 2 puntos que son los focos, si el plano de corte magenta fuera paralelo a una de las generatrices del cono, la curva sección sería una parábola mientras que si el plano de corte generado en el  cono  fuera paralelo a 2 generatrices tendríamos una hipérbola.

Los extremos de la elipse o puntos de corte del plano con contorno del cono según se ven en el perfil o alzado de la figura son en realidad los vértices de la elipse (M). Si movemos el vértice del cono C podemos observar como varía la distancia entre los focos y vértices de la elipse. En el momento en que las dos esferas son tangentes entre sí, los dos focos de la elipse LK se transforman en un único foco que es el centro de la circunferencia tangente a las dos esferas.

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This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Existen 1 o 2 esferas tangentes interiores a un cono y a un plano de sección. Este plano determina los focos de las cónicas en los puntos de tangencia con las esferas. Los planos que definen la intersección de las esferas con el cono (2 circunferencias) y el plano de la cónica determina las directrices de la misma. En este perfil observamos 2 esferas (en rosa y amarillo) con un plano p tangente a ambas. Este plano p que secciona al cono según la elipse azul m de eje mayor TY (extremos de la sección del cono). La intersección de p y los planos donde las esferas son tangentes al cono: j, k, son 2 rectas paralelas al eje menor. El plano p lo proyectamos y abatimos para obtener en verdadera forma la elipse. El eje mayor TY de la elipse se transforma al proyectarla en T’Y’, el centro de la elipse es el punto medio O’ por ser una curva simétrica respecto a los dos ejes principales. Los focos son los puntos de tangencia DF de las esferas con el plano p proyectados sobre la elipse: D’F’. Para obtener el semieje menor de la elipse LO se hace un plano e por O perpendicular al eje del cono en cuya sección abatida lo observamos en verdadera magnitud. A continuación lo colocamos sobre la elipse azul ortogonal a T’Y’ y a partir del centro de la elipse: L’O’. El caso de la parábola. Observamos en el dibujo una esfera tangente a la sección parabólica del cono en el foco de la parábola. El eje de la parábola e pasa por el punto de tangencia de la esfera con el plano de sección y corta al plano donde el cono y la esfera son tangentes, esto es, el plano que pasa por la recta M. Los dos planos -el que secciona el cono y el de contacto entre la esfera y el cono- pasan por las dos rectas e m, respectivamente, y se cortan en una recta d y que es la directriz de la parábola. El teorema de Dandelin nos determina con facilidad el foco de una sección del cono. La solución a los ejercicios para la determinación de los focos de las cónicas consiste en hacer una esfera tangente a la sección y al cono y el punto de contacto de la esfera con la sección cónica es un foco de la cónica. En este dibujo observamos en un perfil el cono separado en dos trozos por un corte, con la esfera tangente al plano de sección en el punto a. Observamos también que el plano m -azul- que es el plano que pasa por donde el cono y la esfera son tangentes, corta al plano de sección del cono en la recta d, que es la directriz que la parábola. 2ª teorema de Dandelin

En la figura tenemos un cono en planta y alzado seccionado por tres planos. 

En el primer caso el plano vertical corta al cono según una hipérbola cuyo centro de la misma pasa por la horizontal que incide en el vértice del cono mientras que una circunferencia tangente al plano vertical y a las dos generatrices define una esfera cuyo contacto con el plano vertical es el foco de la hipérbola que giramos hasta pasarlo a la línea de tierra y de ahí a la proyección T en planta obteniendo así el abatimiento del centro y por el mismo procedimiento el del vértice. 

Una vez que abatimos en la planta tenemos que desde el centro T de la misma hacemos una circunferencia d1 cuyo radio sea TA (hasta el foco de la hipérbola, obtenido como abatimiento del punto de tangencia con la esfera). En la intersección de esta circunferencia d1 con la vertical verde por el vértice W nos genera la posición de un punto que junto con el centro define la posición de una asíntota u (tg. en infinito a la curva). 

En el caso elíptico tenemos que la línea naranja -proyección de plano proyectante vertical- corta al cono según un punto de contacto con una generatriz y otro con otra generatriz. En el punto medio x de ambos puntos azules -vértices del eje mayor-  tenemos el centro de la elipse y la recta tangente a la esfera define el foco -punto amarillo- de la elipse .

 En el caso parabólico tenemos una línea de corte  verde g, paralela a la generatriz del contorno en el alzado. El punto de tangencia F  tenemos el foco de la parábola y en el punto de corte con la generatriz del contorno tenemos el vértice V; también tenemos a igual distancia entre el vértice y un foco el punto por donde pasa la directriz o -todos los elementos en sección abatida, como la elipse- , en consecuencia podemos hacer un abatimiento de la sección a 90 grados para tener la parábola y elipse en verdadera forma. Nos hemos basado en el teorema de Dandelin para poder construir los focos de las cónicas sabiendo que siempre son los puntos de tangencia de la esfera con el plano tangente del cono y la esfera lo es además con la superficie cónica.

En la figura número 1 podemos ver en su parte inferior una circunferencia con 2 diámetros que forman entre sí 90º, esta circunferencia tiene en su parte superior una elipse con el eje mayor del mismo tamaño que el diámetro de la circunferencia, de manera que ambas están alineadas en rectas verticales imaginarias por sus extremos, eso quiere decir que la elipse puede ser una figura transformada por proyección afín de la circunferencia. 

Como sabemos la afinidad conserva el paralelismo, eso quiere decir que la propiedad de que dos rectas sean paralelas se mantienen, por tanto al proyectar los puntos rojos de la circunferencia (MLJK),  mediante líneas ortogonales hasta la elipse tenemos la proyección de esos dos ejes ortogonales sobre la elipse, son los diámetros que aparecen en color verde, diámetros que llamamos conjugados ya que corresponden a las proyecciones de 2 diámetros ortogonales de la circunferencia.

El hecho de que el paralelismo sea un invariante en la proyección afín quiere decir que el proceso de inscribir un cuadrilátero en la elipse también es válido para hacerlo en la circunferencia, de manera que los ejes ortogonales pueden ser las medianas del cuadrilátero que inscriba en la circunferencia. 

Hemos cogido aleatoriamente un punto P  de uno de los diámetros y hemos hecho por ese punto una paralela al diámetro NH de la elipse,  en los puntos de corte QR  con la elipse hemos hecho dos líneas paralelas al otro diámetro GO,  de manera que obtenemos en la intersección de esas rectas con la elipse los puntos ST,  por último unimos esos dos puntos ST mediante un segmento obteniendo el cuadrilátero de color azul grisáceo inscrito en la elipse.

Como podemos comprobar este proceso lo podemos hacer para cualquier punto que cojamos del diámetro de la elipse,  eso quiere decir que si P lo colocamos más arriba o abajo sobre el eje obtendríamos otro paralelogramo inscrito en la elipse, al seguir el mismo proceso.

Por ello podemos decir recíprocamente que si cogemos una elipse y trazamos un cuadrilátero paralelogramo inscrito en la misma, al tomar las medianas de ese cuadrilátero realmente siempre van a ser los diámetros conjugados de la elipse, y por tanto corresponden por proyección afín a los diámetros ortogonales de una circunferencia.

En el caso número 2 hemos girado los diámetros ortogonales de la circunferencia y los hemos proyectado nuevamente a la elipse, para obtener así otro cuadrilátero, en este caso de color amarillo, como podemos observar las medianas de este cuadrilátero son realmente los diámetros conjugados de la elipse y por tanto proyecciones de los diámetros ortogonales de la circunferencia afín.